弦切角定理篇(1):初三一模数学试卷分析

　　初三一模数学试卷分析(一)
　　一、试卷中反映教与学的问题：
　　教的问题：
　　对学生解题方法与能力的培养有待进一步加强，增强解题方法指导性教学。
　　学生问题：
　　1、基础知识不扎实，基本概念、基本公式、基本性质、基本定理不熟，造成失分;
　　2、审题不清，导致严重失分;
　　3、解题过程不规范，不严谨，解题基本技能不熟练，基本思路不明确，造成失分;
　　4、数学思想方法不灵活，转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等能力差，综合、灵活应用知识能力差造成失分。
　　二、试卷分析
　　这次试卷检测的范围主要是初三上学的知识点，难易也适度，比较能如实反映出学生的实际数学知识的掌握情况，而从试卷成绩来看，基本达到了预期目标，大致可分为两类：第一类是基础知识，通过选择、填空、计算、和画图题进行检测，第二类是综合应用，主要是考几何证明、应用实践和分类讨论等试题。
　　在基本知识中，选择、填空的情况基本较好。选择题失分情况最多的是第一题，学生容易犯粗心的错误，其次填空题错误的在地17题。
　　对于应用题，培养学生的读题能力很关键，自己读懂题意。分析题意在现在看来是一种不可或缺的能力，很多学生因为缺少这种能力而在自己明明会做的题上失分了，太可惜了。(试卷第22题就是一应用题，学生主要错误是由于题意没有理解导致错误;第25题学生因为看见题目太长，甚至连题目都没有看就没有去做了)
　　初三一模数学试卷分析(二)
　　一、试卷总体情况：
　　1、基础部分(86分)
　　(1)相反数(2)科学记数法(3)圆心角与圆周角的关系(4)概率(5)相似(6)配方法(7)统计量(9)自变量取值范围(10)分解因式(11)解直角三角形的简单应用(13)实数计算(14)解不等式组(15)全等(16)方程组，代数式求值(17)一次函数与反比例函数(18)列方程解应用题(19)四边形计算(20)第一问切线证明(21)统计(23)第一问判别式(25)第一问求二次函数解析式。
　　2、中档、提高部分(34分)
　　(8)展开图(12)规律探索(19)第二问与圆有关的计算(22)阅读、操作问题
　　(23)第二、三问代数综合(24)几何综合(25)第二、三问代数几何综合题。
　　二、部分题目分析：
　　1、第8题，展开图问题(中考选择压轴题常考题)，难度中，考查学生的空间想象能力，此题可采用退步法，使问题简化，三个面想不过来，你可以想两个面，之后看有无重叠即可，本题也可实验操作，但图形有些复杂，折起纸来有一定困难。
　　2、第12题，规律探究题，本题所考图形在中考或模拟中多次出现，同学们并不陌生，解题关键是代数与几何之间的相互转换。
　　3、第17、18、19题，都是模仿11年中考题出的，17注意分类讨论，18注意分式方程要检验，19没考常规梯形计算。
　　4、第20题，切线的证明实为弦切角逆定理模型，但为了降低难度，题中给画出了直径;第二问也是模仿中考题求了2条线段长度，但第一个线段长度实为降低求第二条的难度，并可以达到一定的区分度，本题为中等难题，但比11年中考简单。
　　5、第22题，本题为阅读理解类信息题，做这类题目注意一定要把信息读完了，再思考，然后照葫芦画瓢即可。本题在北京竞赛中考过，在市面上比较流行的培优类教辅《新思维》或《培优竞赛新方法》中的平移部分可以找到。
　　6、第23题，常规代数综合题，一句话“代数就行”。
　　7、第24题，中点相关几何综合题，10、11年海淀一模第25题皆是此类问题，本题图形的实质是增设中点法的外构中位线，进而极大的降低了难度，本类题在竞赛和中考中多次考察，08北京中考第25题就是此类问题(05大连中考改题)，本题为08大连二模第26题改题。
　　8、第25题，代几综合，第一问送分，第二问割补法求面积，第3问可视为以代数为主的代几综合题(典型的大连题风格，本题为09大连中考第26题改题)，注意代数和几何之间的转换计算即可。
　　小结：
　　本次海淀区一模题目和以往相比略显简单，因此同学们会有一个不错的成绩(相对期末考试)，但且不可骄傲，对于大多数同学来说要保证简单题的准确率，提高中等题的速度，了解难题的基本套路。

弦切角定理篇(2):初中数学圆的知识点及解题技巧

　　初中数学几何中圆是比较重要的一部分，下面给大家总结了,小编总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧!

　　初三数学圆知识点总结
　　一、圆的相关概念
　　1、圆的定义
　　在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
　　2、直线圆的与置位关系
　　1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切
　　2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心
　　3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角
　　4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心
　　5.垂于直径半直线必为圆的的切线
　　6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线
　　7.垂于直径半直线是圆的的切线
　　8.圆切线垂的直过切于点半径
　　3、圆的几何表示
　　以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

　　二、垂径定理及其推论
　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
　　推论1：
　　(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
　　(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
　　(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
　　垂径定理及其推论可概括为：
　　过圆心
　　垂直于弦
　　直径 平分弦 知二推三
　　平分弦所对的优弧
　　平分弦所对的劣弧
　　三、弦、弧等与圆有关的定义
　　1、弦
　　连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)
　　2、直径
　　经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)
　　直径等于半径的2倍。
　　3、半圆
　　圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
　　4、弧、优弧、劣弧
　　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
　　弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
　　大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

　　四、圆的对称性
　　1、圆的轴对称性
　　圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
　　2、圆的中心对称性
　　圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
　　五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
　　1、圆心角
　　顶点在圆心的角叫做圆心角。
　　2、弦心距
　　从圆心到弦的距离叫做弦心距。
　　3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
　　六、圆周角定理及其推论
　　1、圆周角
　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
　　2、圆周角定理
　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
　　推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
　　推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
　　七、点和圆的位置关系
　　设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
　　d
　　d=r 点P在⊙O上;
　　d>r 点P在⊙O外。
　　八、过三点的圆
　　1、过三点的圆
　　不在同一直线上的三个点确定一个圆。
　　2、三角形的外接圆
　　经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
　　3、三角形的外心
　　三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
　　4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)
　　圆内接四边形对角互补。
　　九、反证法
　　先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
　　十、直线与圆的位置关系
　　直线和圆有三种位置关系，具体如下：
　　(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;
　　(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
　　(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
　　直线l与⊙O相交 d
　　直线l与⊙O相切 d=r;
　　直线l与⊙O相离 d>r;
　　十一、切线的判定和性质
　　1、切线的判定定理
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
　　2、切线的性质定理
　　圆的切线垂直于经过切点的半径。
　　十二、切线长定理
　　1、切线长
　　在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
　　2、切线长定理
　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
　　十三、圆和圆的位置关系
　　1、圆和圆的位置关系
　　如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
　　如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
　　如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
　　2、圆心距
　　两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
　　3、圆和圆位置关系的性质与判定
　　设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
　　两圆外离 d>R+r
　　两圆外切 d=R+r
　　两圆相交 R-r
　　两圆内切 d=R-r(R>r)
　　两圆内含 dr)
　　4、两圆相切、相交的重要性质
　　如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
　　十四、三角形的内切圆
　　1、三角形的内切圆
　　与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
　　2、三角形的内心
　　三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
　　十五、与正多边形有关的概念
　　1、正多边形的中心
　　正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
　　2、正多边形的半径
　　正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
　　3、正多边形的边心距
　　正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
　　4、中心角
　　正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
　　十六、正多边形和圆
　　1、正多边形的定义
　　各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
　　2、正多边形和圆的关系
　　只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
　　十七、正多边形的对称性
　　1、正多边形的轴对称性
　　正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
　　2、正多边形的中心对称性
　　边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
　　3、正多边形的画法
　　先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
　　十八、弧长和扇形面积
　　1、弧长公式
　　n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
　　2、扇形面积公式
　　其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
　　3、圆锥的侧面积
　　其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
　　初中数学圆解题技巧
　　半径与弦长计算，弦心距来中间站。
　　圆上若有一切线，切点圆心半径连。
　　切线长度的计算，勾股定理最方便。
　　要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
　　是直径，成半圆，想成直角径连弦。
　　弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
　　圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
　　弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
　　要想作个外接圆，各边作出中垂线。
　　还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
　　如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
　　内外相切的两圆，经过切点公切线。
　　若是添上连心线，切点肯定在上面。
　　要作等角添个圆，证明题目少困难。
　　辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
　　假如图形较分散，对称旋转去实验。

弦切角定理篇(3):2018届苏州市高考数学模拟试卷及答案

　　数学不仅所占分值高，而且难度也相对较大，要想高考数学中取得高分，那就需要在备考时多做一些高考数学模拟试卷了，以下是百分网小编为你整理的2018届苏州市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

　　2018届苏州市高考数学模拟试卷题目

　　一.填空题：本大?共14小败，每小?5分，共70分.不需要写出解答过程

　　1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2?6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　　.

　　2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|=　　.

　　3.函数f(x)= 的定义域为　　.

　　4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是

　　5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　　.

　　6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为　　.

　　7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的?Ｂ饰?　?

　　8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ? =l的右焦点，则双曲线的离心率为　　.

　　9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为　　.

　　10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为　　.

　　11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且 • =1，则实数λ的值为　　.

　　12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=　　.

　　13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|? 的零点个数为　　.

　　14.若正数x，y满足15x?y=22，则x3+y3?x2?y2的最小值为　　.

　　二.解答题：本大题共6小题，共计90分

　　15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A?B=

　　(1)求边c的长;

　　(2)求角B的大小.

　　16.如图，在斜三梭柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1

　　(1)求证：E是AB中点;

　　(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.

　　17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.

　　(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);

　　(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.

　　18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为 ，椭圆的右顶点为A.

　　(1)求该椭圆的方程：

　　(2)过点D( ，? )作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的

　　斜率之和为定值.

　　19.己知函数f(x)=(x+l)lnx?ax+a (a为正实数，且为常数)

　　(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;

　　(2)若不等式(x?1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

　　20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2?nan+12=0，设数列{bn}满足bn=

　　(1)求证：数列{ }为等比数列;

　　(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：

　　(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn?a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.

　　四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]

　　21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.

　　[选修4-2：矩阵与变换]

　　22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(?1，2)变换成(?2，4).

　　(1)求矩阵M;

　　(2)求矩阵M的另一个特征值.

　　[选修4-4：坐标系与参数方程]

　　23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .

　　(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

　　(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

　　[选修4-5：不等式选讲]

　　24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.

　　四.必做题：每小题0分，共计20分

　　25.如图，已知正四棱锥P?ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .

　　(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;

　　(2)求二面角N?PC?B的余弦值.

　　26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn

　　(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(?1) tannθ;

　　(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(?1)n+1tan2nθ].

　　2018届苏州市高考数学模拟试卷答案

　　一.填空题：本大?共14小败，每小?5分，共70分.不需要写出解答过程

　　1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2?6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　{6，7}　.

　　【考点】补集及其运算.

　　【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可.

　　【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，

　　M={x|x2?6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，

　　则∁UM={6，7}.

　　故答案为：{6，7}.

　　2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|=　 　.

　　【考点】复数代数形式的乘除运算.

　　【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.

　　【解答】解：由z+i= ，

　　得 = ，

　　则|z|= .

　　故答案为： .

　　3.函数f(x)= 的定义域为　{x|x> 且x≠1}　.

　　【考点】函数的定义域及其求法.

　　【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.

　　【解答】解：由题意得： ，

　　解得：x> 且x≠1，

　　故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，

　　故答案为：{x|x> 且x≠1}.

　　4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是　24

　　【考点】伪代码.

　　【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，

　　由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.

　　【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环

　　t=1×2=2，i=3;

　　当i=3时，满足循环条件，执行循环

　　t=2×3=6，i=4;

　　当i=4时，满足循环条件，执行循环

　　t=6×4=24，i=5;

　　当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.

　　故答案为：24.

　　5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　300　.

　　【考点】分层抽样方法.

　　【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.

　　【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，

　　其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，

　　∴高二年级要抽取45?20?10=15，

　　∵高级中学共有900名学生，

　　∴每个个体被抽到的概率是 =

　　∴该校高二年级学生人数为 =300，

　　故答案为：300.

　　6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为　 　.

　　【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

　　【分析】正四棱锥P?ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.

　　【解答】解：如图，正四棱锥P?ABCD中，AB=2，PA= ，

　　设正四棱锥的高为PO，连结AO，

　　则AO= AC= .

　　在直角三角形POA中，PO= = =1.

　　所以VP?ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .

　　故答案为： .

　　7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的?Ｂ饰? 　.

　　【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

　　【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的?Ｂ?

　　【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，

　　基本事件总数n= =6，

　　这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，

　　∴这两个数的和为3的倍数的?Ｂ?= .

　　故答案为： .

　　8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ? =l的右焦点，则双曲线的离心率为　2　.

　　【考点】双曲线的简单性质.

　　【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.

　　【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，

　　则双曲线 ? =l的右焦点为(2，0)，

　　即有c= =2，

　　不妨设a=1，

　　可得双曲线的离心率为e= =2.

　　故答案为：2.

　　9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为　2　.

　　【考点】等比数列的通项公式.

　　【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出 ，由此能求出a8的值.

　　【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，

　　∴ ，

　　解得 ，

　　∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.

　　故答案为：2.

　　10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为　x?y?1=0　.

　　【考点】直线与圆的位置关系.

　　【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.

　　【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my?4=0，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=?2y2，y1+y2=? ，y1y2=?

　　联立解得m=1，∴直线l的方程为x?y?1=0，

　　故答案为：x?y?1=0.

　　11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且 • =1，则实数λ的值为　? 或1　.

　　【考点】平面向量数量积的运算.

　　【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把 、 用 、 与λ表示出来，再求 • 即可.

　　【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足 = + ，

　　∴ ? =λ ，

　　∴ =λ ;

　　又 = ? =( +λ )? = +(λ?1) ，

　　∴ • =λ •[ +(λ?1) ]

　　=λ • +λ(λ?1)

　　=λ×2×1×cos60°+λ(λ?1)×22=1，

　　整理得4λ2?3λ?1=0，

　　解得λ=? 或λ=1，

　　∴实数λ的值为? 或1.

　　故答案为：? 或1.

　　12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=　2 ?4　.

　　【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.

　　【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.

　　【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .

　　又tan =tan( ? )= = =2? ，

　　∴tan(α+ )= = = =? =2 ?4，

　　故答案为：2 ?4.

　　13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|? 的零点个数为　4　.

　　【考点】根的存在性及根的个数判断.

　　【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.

　　【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，

　　令g(x)=lnx? ，x≥1时函数是连续函数，

　　g(1)=? <0，g(2)=ln2? =ln >0，

　　g(4)=ln4?2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx? ，有2个零点.

　　(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)

　　当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，

　　综上函数y=|f(x)|? 的零点个数为：4个.

　　故答案为：4.

　　14.若正数x，y满足15x?y=22，则x3+y3?x2?y2的最小值为　1　.

　　【考点】函数的最值及其几何意义.

　　【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3?x2?y2=(x3?x2)+(y3?y2)，求出y3?y2≥? y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3?x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.

　　【解答】解：由正数x，y满足15x?y=22，可得y=15x?22>0，则x> ，y>0，

　　又x3+y3?x2?y2=(x3?x2)+(y3?y2)，

　　其中y3?y2+ y=y(y2?y+ )=y(y? )2≥0，

　　即y3?y2≥? y，

　　当且仅当y= 时取得等号，

　　设f(x)=x3?x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2?2x=x(3x?2)，

　　当x= 时，f(x)的导数为 ×( ?2)= ，

　　可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x? .

　　由x3?x2≥ x? ⇔(x? )2(x+2)≥0，

　　当x= 时，取得等号.

　　则x3+y3?x2?y2=(x3?x2)+(y3?y2)≥ x? ? y≥ ? =1.

　　当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.

　　故答案为：1.

　　二.解答题：本大题共6小题，共计90分

　　15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A?B=

　　(1)求边c的长;

　　(2)求角B的大小.

　　【考点】余弦定理;正弦定理.

　　【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2?b2=6c，b2+c2?a2=2c.相加即可得出c.

　　(2)由(1)可得：a2?b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A?B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得 ?16sin2B= ，化简即可得出.

　　【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，

　　化为：a2+c2?b2=6c，b2+c2?a2=2c.

　　相加可得：2c2=8c，解得c=4.

　　(2)由(1)可得：a2?b2=8.

　　由正弦定理可得： = = ，

　　又A?B= ，∴A=B+ ，C=π?(A+B)= ，可得sinC=sin .

　　∴a= ，b= .

　　∴ ?16sin2B= ，

　　∴1? ?(1?cos2B)= ，即cos2B? = ，

　　∴?2 ? ，

　　∴ =0或 =1，B∈ .

　　解得：B= .

　　16.如图，在斜三梭柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1

　　(1)求证：E是AB中点;

　　(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.

　　【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.

　　【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.

　　(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.

　　【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，

　　∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，

　　∴O为AC1的中点，

　　∵E′是AB的中点，

　　∴OE′∥BC1;

　　∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

　　∴OE′∥平面BCC1B1，

　　∵OE∥平面BCC1B1，

　　∴E，E′重合，

　　∴E是AB中点;

　　(2)∵侧面AA1C1C是菱形，

　　∴AC1⊥A1C，

　　∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

　　∴AC1⊥平面A1BC，

　　∵BC⊂平面A1BC，

　　∴AC1⊥BC.

　　17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.

　　(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);

　　(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.

　　【考点】函数模型的选择与应用.

　　【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);

　　(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.

　　【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，

　　∴a= ? ，

　　∴l= ? + (0<α<>

　　(2)l′=h ，

　　∴0<α< ，l′<0，=""><α< ，l′="">0，

　　∴ 时，l取得最小值 m.

　　18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为 ，椭圆的右顶点为A.

　　(1)求该椭圆的方程：

　　(2)过点D( ，? )作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的

　　斜率之和为定值.

　　【考点】直线与椭圆的位置关系.

　　【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2?c2=1，即可求得椭圆的方程：

　　(2)则直线PQ的方程：y=k(x? )? ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.

　　【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，

　　椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2?c2=1，

　　则椭圆的标准方程： ;

　　(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，

　　由题意PQ的方程：y=k(x? )? ，

　　则 ，整理得：(2k2+1)x2?(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，

　　由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，

　　则y1+y2=k(x1+x2)?2 k?2 = ，

　　则kAP+kAQ= + = ，

　　由y1x2+y2x1=[k(x1? )? ]x2+[k(x2? )? ]x1=2kx1x2?( k+ )(x1+x2)=? ，

　　kAP+kAQ= = =1，

　　∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.

　　19.己知函数f(x)=(x+l)lnx?ax+a (a为正实数，且为常数)

　　(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;

　　(2)若不等式(x?1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

　　【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

　　【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;

　　(2)问题转化为(x?1)[(x+1)lnx?a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.

　　【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx?ax+a，f′(x)=lnx+ +1?a，

　　若f(x)在(0，+∞)上单调递增，

　　则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，

　　令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，

　　g′(x)= ，

　　令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0

　　故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，

　　故g(x)min=g(1)=2，

　　故0

　　(2)若不等式(x?1)f(x)≥0恒成立，

　　即(x?1)[(x+1)lnx?a]≥0恒成立，

　　①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，

　　令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，

　　则m′(x)=lnx+ +1，

　　由(1)得：m′(x)≥2，

　　故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，

　　故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;

　　②0

　　令n(x)=(x+1)lnx，(0

　　则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，

　　故n′(x)>n(1)=2，

　　故n(x)在(0，1)递增，故n(x)

　　故a≥0，而a为正实数，故a>0.

　　20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2?nan+12=0，设数列{bn}满足bn=

　　(1)求证：数列{ }为等比数列;

　　(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：

　　(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn?a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.

　　【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

　　【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2?nan+12=0，化为： =2× ，即可证明.

　　(2)由(1)可得： = ，可得 =n •4n?1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.

　　(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn?a14n2=16bm，即可得出a1.

　　【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2?nan+12=0，

　　∴ = an+1，即 =2 ，

　　∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.

　　(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n?1.

　　∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，

　　∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，

　　∴ = + ，

　　化为：16t=t2+48，解得t=12或4.

　　(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.

　　①t=12时，bn= = ，Sn= ，

　　∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn?a14n2=16bm成立，

　　∴ × ?a14n2=16× ，

　　∴ = ，n=1时，化为：? = >0，无解，舍去.

　　②t=4时，bn= = ，Sn= ，

　　对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn?a14n2=16bm成立，

　　∴ × ?a14n2=16× ，

　　∴n =4m，

　　∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.

　　∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}.

　　四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]

　　21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.

　　【考点】弦切角.

　　【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.

　　【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

　　因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

　　所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;

　　又因为∠ACB=90°，

　　得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

　　从而∠ABE=30°，

　　于是 .

　　[选修4-2：矩阵与变换]

　　22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(?1，2)变换成(?2，4).

　　(1)求矩阵M;

　　(2)求矩阵M的另一个特征值.

　　【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.

　　【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(?1，2)换成(?2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;

　　(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ?6)(λ?4)?8=λ2?10λ+16，从而求得另一个特征值为2.

　　【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，

　　则 =8 = ，

　　故 ，

　　由于矩阵M对应的变换将点(?1，2)换成(?2，4).

　　则 = ，

　　故

　　联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .

　　(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ?6)(λ?4)?8=λ2?10λ+16，

　　故矩阵M的另一个特征值为2.

　　[选修4-4：坐标系与参数方程]

　　23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .

　　(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

　　(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

　　【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.

　　【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.

　　(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.

　　【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为 ，

　　所以 ，所以x2+y2?2x?2y?2=0.

　　(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.

　　化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .

　　[选修4-5：不等式选讲]

　　24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.

　　【考点】二维形式的柯西不等式.

　　【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值.

　　【解答】解：由柯西不等式可得

　　( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12

　　∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.

　　∴ + + 的最大值是6，

　　故最大值为6.

　　四.必做题：每小题0分，共计20分

　　25.如图，已知正四棱锥P?ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .

　　(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;

　　(2)求二面角N?PC?B的余弦值.

　　【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.

　　【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点， ， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.

　　(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N?PC?B的余弦值.

　　【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，

　　， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz.

　　则A(1，?1，0)，B(1，1，0)，C(?1，1，0)，D(?1，?1，0)，…

　　设P(0，0，p)，则 =(?1，1，p)，又AP=2，

　　∴1+1+p2=4，∴p= ，

　　∵ = = =( )，

　　=( )，

　　∴ =(?1，1，? )， =(0， ，? )，

　　设异面直线MN与PC所成角为θ，

　　则cosθ= = = .

　　θ=30°，

　　∴异面直线MN与PC所成角为30°.

　　(2) =(?1，1，? )， =(1，1，? )， =( ，? )，

　　设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，

　　则 ，取z=1，得 =(0， ，1)，

　　设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，

　　则 ，取c=1，得 =( ，2 ，1)，

　　设二面角N?PC?B的平面角为θ，

　　则cosθ= = = .

　　∴二面角N?PC?B的余弦值为 .

　　26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn

　　(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(?1) tannθ;

　　(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(?1)n+1tan2nθ].

　　【考点】数列的求和.

　　【分析】(1)利用sin = ，即可得出.

　　(2)a2k?1+a2k=(?1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.

　　【解答】证明：(1)an=sin tannθ，

　　当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;

　　当n=2k?1为奇函数时，an= •tannθ=(?1)k?1tannθ=(?1) tannθ.

　　(2)a2k?1+a2k=(?1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为?tan2θ.

　　∴S2n= = sin2θ•[1+(?1)n+1tan2nθ].